فضای خارج قسمت (Orbit Space / Transformation Group)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای خارج قسمت (Orbit Space / Transformation Group) :
فضای خارج قسمت (Orbit space) در زمینه اعمال گروهی (group actions) تعریف می شود. اگر یک گروه توپولوژیک
\[ G \]روی یک فضای توپولوژیک
\[ X \]عمل کند، فضای خارج قسمت
\[ X/G \]مجموعه همه مدارها (orbits) است با توپولوژی خارج قسمت (quotient topology) که در آن نگاشت
\[ X \to X/G \]پیوسته و باز (open) است (در شرایط خوب).
این فضاها در مطالعه تقارن ها و هندسه اهمیت دارند. مثال ها:
\[ \mathbb{RP}^n = S^n / \mathbb{Z}_2 \](فضای تصویری حقیقی)،
\[ S^1 = \mathbb{R} / \mathbb{Z} \]، و
\[ T^2 = \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2 \].
ویژگی ها:
اگر
\[ G \]فشرده و
\[ X \]هاسدورف باشد،
\[ X/G \]نیز هاسدورف است.
نگاشت
\[ X \to X/G \]یک فضای پوششی (covering space) است اگر عمل
\[ G \]مناسب و آزادانه (properly discontinuous) باشد.
این فضاها در توپولوژی جبری (نظریه هموتوپی و همولوژی) اهمیت دارند.
\[ X/G = \{ Gx \mid x \in X \}, \quad \pi: X \to X/G \]فضاهای خارج قسمت حاصل از اعمال گروهی، فضاهای متقارن جدیدی می سازند.
