گروه توپولوژیک (Topological Group)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
گروه توپولوژیک (Topological Group) :
گروه توپولوژیک (Topological group) یک گروه است که هم زمان یک فضای توپولوژیک نیز می باشد، به طوری که عمل گروه (ضرب) و عمل معکوس گیری پیوسته هستند. این ساختار ترکیبی از جبر و توپولوژی است و در بسیاری از شاخه های ریاضیات ظاهر می شود.
مثال ها:
\[ (\mathbb{R}, +) \]با توپولوژی معمولی،
\[ (\mathbb{C}^*, \times) \]،
\[ GL(n,\mathbb{R}) \](گروه ماتریس های وارون پذیر) با توپولوژی القایی از
\[ \mathbb{R}^{n^2} \]، و هر گروه با توپولوژی گسسته.
ویژگی ها:
گروه های توپولوژیک هاسدورف (در صورت
\[ T_0 \]) به طور خودکار منظم و حتی تیخونوف هستند.
هر گروه توپولوژیک یک فضای یکنواخت (uniform space) است (با دو ساختار یکنواخت چپ و راست).
مفهوم زیرگروه فشرده، زیرگروه باز، و هم ریختی های گروهی پیوسته اهمیت دارند.
آنالیز هارمونیک روی گروه های موضعا فشرده (مانند
\[ \mathbb{R} \]و
\[ S^1 \]) بنا شده است.
\[ m: G \times G \to G, \quad i: G \to G \quad \text{پیوسته} \]گروه های توپولوژیک پل ارتباطی بین جبر و آنالیز هستند.
