فضای پراکنده (Scattered Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای پراکنده (Scattered Space) :
فضای پراکنده (Scattered space) یک فضای توپولوژیک است که هیچ زیرمجموعه ای همبند با بیش از یک نقطه ندارد. به عبارت دیگر، تنها زیرمجموعه های همبند آن، مجموعه های تک عضوی هستند. این تعریف با فضای کاملا ناهمبند متفاوت است (در کاملا ناهمبند، مؤلفه های همبندی نقاط هستند، اما زیرمجموعه های همبند می توانند بیش از یک نقطه داشته باشند؟ در واقع در کاملا ناهمبند، هیچ زیرمجموعه همبندی با بیش از یک نقطه وجود ندارد. پس این دو مفهوم یکی هستند؟ خیر، فضای پراکنده معمولا به فضایی گفته می شود که هر زیرفضای غیرتهی آن دارای یک نقطه منفرد (isolated point) باشد. این با کاملا ناهمبند بودن تفاوت دارد.
تعریف دقیق: یک فضای توپولوژیک پراکنده است اگر هر زیرفضای غیرتهی آن دارای یک نقطه منفرد (نقطه ای که در آن زیرفضا باز باشد) باشد. به بیان دیگر، فاقد هرگونه زیرمجموعه چگال در خود (dense-in-itself) است.
ویژگی ها:
هر فضای پراکنده،
\[ T_0 \]است.
فضاهای گسسته، پراکنده هستند.
مجموعه کانتور پراکنده نیست (چون هیچ نقطه منفردی ندارد).
خط حقیقی پراکنده نیست.
پراکندگی در نظریه ابعاد و توپولوژی توصیفی (descriptive set theory) اهمیت دارد.
\[ \forall A \subseteq X, A \neq \emptyset \Rightarrow \exists a \in A: \{a\} \text{ باز در } A \]فضاهای پراکنده برخلاف فضاهای متراکم (dense-in-itself) هستند.
