ضرب توپولوژیک (Product Topology)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

ضرب توپولوژیک (Product Topology) :

ضرب توپولوژیک (Product topology) یک توپولوژی روی حاصلضرب دکارتی خانواده ای از فضاهای توپولوژیک است. برای دو فضا

\[ X \]

و

\[ Y \]

، پایه ای برای توپولوژی ضربی شامل مجموعه های

\[ U \times V \]

است که

\[ U \subseteq X \]

و

\[ V \subseteq Y \]

باز هستند.

برای حاصلضرب نامتناهی

\[ \prod_{\alpha \in I} X_\alpha \]

، توپولوژی ضربی توسط پایه ای از مجموعه های

\[ \prod_{\alpha \in I} U_\alpha \]

که در آن

\[ U_\alpha \]

در

\[ X_\alpha \]

باز است و برای همه ی

\[ \alpha \]

به جز تعداد متناهی،

\[ U_\alpha = X_\alpha \]

، تولید می شود. این توپولوژی ضعیف ترین توپولوژی است که همه نگاشت های تصویر (projections) را پیوسته می کند.

ویژگی ها:

قضیه تیخونوف (Tychonoff's theorem): حاصلضرب فضاهای فشرده، فشرده است.

حاصلضرب فضاهای هاسدورف، هاسدورف است.

حاصلضرب فضاهای همبند، همبند است.

توپولوژی ضربی با توپولوژی جعبه ای (box topology) تفاوت دارد (در حاصلضرب های نامتناهی).

\[ \mathcal{B} = \{ \prod_{\alpha \in I} U_\alpha \mid U_\alpha \in \mathcal{T}_\alpha, \text{ فقط تعداد متناهی } U_\alpha \neq X_\alpha \} \]

ضرب توپولوژیک یکی از مهم ترین روش های ساخت فضاهای جدید است.