فضای زیرفضا (Subspace Topology)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای زیرفضا (Subspace Topology) :

فضای زیرفضا (Subspace topology) یک روش طبیعی برای تعریف توپولوژی روی زیرمجموعه ای از یک فضای توپولوژیک است. اگر

\[ (X, \mathcal{T}) \]

یک فضای توپولوژیک و

\[ Y \subseteq X \]

یک زیرمجموعه باشد، توپولوژی زیرفضایی روی

\[ Y \]

به صورت

\[ \mathcal{T}_Y = \{ U \cap Y \mid U \in \mathcal{T} \} \]

تعریف می شود.

این توپولوژی، توپولوژی القایی (induced topology) نیز نامیده می شود و طبیعی ترین راه برای نگاه کردن به

\[ Y \]

به عنوان یک فضای توپولوژیک مستقل است. بسیاری از خواص مانند هاسدورف بودن، اول-شمارایی، و غیره به زیرفضاها منتقل می شوند.

ویژگی ها:

نگاشت همانی (inclusion)

\[ i: Y \hookrightarrow X \]

با این توپولوژی پیوسته است.

زیرفضاها خاصیت جهانی دارند: یک تابع

\[ f: Z \to Y \]

از یک فضای توپولوژیک

\[ Z \]

پیوسته است اگر و فقط اگر ترکیب آن با نگاشت همانی

\[ i \circ f: Z \to X \]

پیوسته باشد.

اگر

\[ Y \]

یک زیرمجموعه باز (یا بسته) از

\[ X \]

باشد، مجموعه های باز (یا بسته) در

\[ Y \]

با مجموعه های باز (یا بسته) در

\[ X \]

که در

\[ Y \]

قرار دارند، یکی هستند.

\[ \mathcal{T}_Y = \{ U \cap Y \mid U \in \mathcal{T}_X \} \]

توپولوژی زیرفضایی پایه ای ترین روش برای مطالعه زیرمجموعه ها به عنوان فضاهای مستقل است.