فضای خارج قسمت (Quotient Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای خارج قسمت (Quotient Space) :
فضای خارج قسمت (Quotient space) یک روش مهم برای ساخت فضاهای جدید از فضاهای موجود با شناسایی نقاط (چسباندن) است. اگر
\[ (X, \mathcal{T}) \]یک فضای توپولوژیک و
\[ \sim \]یک رابطه هم ارزی روی
\[ X \]باشد، فضای خارج قسمت
\[ X/\sim \]با توپولوژی خارج قسمت (quotient topology) تعریف می شود: یک مجموعه
\[ U \subseteq X/\sim \]باز است اگر و فقط اگر
\[ \pi^{-1}(U) \]در
\[ X \]باز باشد، که
\[ \pi: X \to X/\sim \]نگاشت خارج قسمت است.
این توپولوژی قوی ترین توپولوژی است که
\[ \pi \]را پیوسته می کند. فضاهای خارج قسمت در تمام شاخه های توپولوژی ظاهر می شوند:
چسباندن دو سر یک بازه برای ساخت دایره
\[ S^1 \].
شناسایی اضلاع مربع برای ساخت چنبره
\[ T^2 \]و بطری کلاین.
ساخت فضاهای تصویری (projective spaces).
ویژگی ها:
نگاشت خارج قسمت
\[ \pi \]پیوسته و پوشا است.
یک تابع
\[ f: X/\sim \to Y \]پیوسته است اگر و فقط اگر
\[ f \circ \pi \]پیوسته باشد.
فضاهای خارج قسمت ممکن است خواص جداگانگی را حفظ نکنند (مثلا هاسدورف بودن از بین می رود).
\[ \mathcal{T}_{X/\sim} = \{ U \subseteq X/\sim \mid \pi^{-1}(U) \in \mathcal{T}_X \} \]فضاهای خارج قسمت یکی از مهم ترین ابزارهای ساخت فضا در توپولوژی هستند.
