توپولوژی اولیه (Initial Topology)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

توپولوژی اولیه (Initial Topology) :

توپولوژی اولیه (Initial topology) دوگان توپولوژی نهایی است. اگر یک خانواده از فضاهای توپولوژیک

\[ (Y_i, \mathcal{T}_i) \]

و توابع

\[ f_i: X \to Y_i \]

از یک مجموعه

\[ X \]

داشته باشیم، توپولوژی اولیه روی

\[ X \]

، ضعیف ترین توپولوژی است که همه توابع

\[ f_i \]

را پیوسته می کند.

این توپولوژی به صورت زیر تعریف می شود: یک پایه برای آن شامل مجموعه های

\[ f_i^{-1}(U_i) \]

برای

\[ U_i \]

باز در

\[ Y_i \]

و اشتراک های متناهی آنها است.

ویژگی ها:

توپولوژی اولیه یک خاصیت جهانی دارد: هر تابع

\[ h: Z \to X \]

پیوسته است اگر و فقط اگر

\[ f_i \circ h \]

برای همه

\[ i \]

پیوسته باشد.

مثال مهم: توپولوژی ضربی (product topology) یک حالت خاص از توپولوژی اولیه است (با توابع تصویر

\[ \pi_i: \prod X_i \to X_i \]

).

توپولوژی زیرفضایی (subspace topology) نیز یک توپولوژی اولیه است (با تابع همانی).

\[ \mathcal{T} = \text{ ضعیف ترین توپولوژی که همه } f_i \text{ را پیوسته می کند} \]

توپولوژی اولیه برای ساخت توپولوژی روی حاصلضرب ها و زیرفضاها استفاده می شود.