گرد و غبار کانتور (Cantor Dust)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
گرد و غبار کانتور (Cantor Dust) :
گرد و غبار کانتور (Cantor dust) یک فراکتال است که از حاصلضرب دکارتی دو مجموعه کانتور کلاسیک به دست می آید:
\[ C \times C \]، که در آن
\[ C \]مجموعه کانتور روی بازه
\[ [0,1] \]است. این فضا یک زیرمجموعه از مربع
\[ [0,1]^2 \]است.
این فضا یک مجموعه فشرده، کاملا ناهمبند (totally disconnected) و با اندازه (مساحت) صفر است. بعد هاوسدورف (Hausdorff dimension) گرد و غبار کانتور برابر
\[ 2 \times \frac{\log 2}{\log 3} \approx 1.26186 \]است (چون بعد هر کانتور
\[ \frac{\log 2}{\log 3} \]است و بعد حاصلضرب، مجموع ابعاد است).
ویژگی ها:
این فضا هم مورف با حاصلضرب دو مجموعه کانتور است.
گرد و غبار کانتور یک فضای صفر-بعدی (zero-dimensional) است.
در نظریه فراکتال ها و دینامیک نمادین (symbolic dynamics) کاربرد دارد.
این فضا یک مثال از یک مجموعه خودمتشابه (self-similar) است.
\[ \text{Cantor dust} = C \times C, \quad C = \text{مجموعه کانتور کلاسیک} \]گرد و غبار کانتور یک آنالوگ دوبعدی از مجموعه کانتور است.
