توپولوژی فشرده-باز (Compact-open Topology)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

توپولوژی فشرده-باز (Compact-open Topology) :

توپولوژی فشرده-باز (Compact-open topology) یک توپولوژی روی فضای توابع پیوسته

\[ C(X,Y) \]

بین دو فضای توپولوژیک است. این توپولوژی توسط خانواده ای از مجموعه های

\[ W(K,U) = \{ f \in C(X,Y) \mid f(K) \subseteq U \} \]

تولید می شود، که در آن

\[ K \subseteq X \]

فشرده و

\[ U \subseteq Y \]

باز است.

این توپولوژی طبیعی ترین توپولوژی روی فضاهای تابعی است و در هموتوپی و نظریه هموتوپی اهمیت دارد. اگر

\[ Y \]

یک فضای متریک باشد، توپولوژی فشرده-باز با توپولوژی همگرایی یکنواخت روی فشرده ها (uniform convergence on compact sets) برابر است.

ویژگی ها:

اگر

\[ X \]

یک فضای موضعا فشرده و هاسدورف باشد، توپولوژی فشرده-باز روی

\[ C(X,Y) \]

با توپولوژی همگرایی فشرده (compact convergence) برابر است.

این توپولوژی در مطالعه فضاهای حلقه (loop spaces) و فضاهای تابعی در توپولوژی جبری کاربرد دارد.

قضیه نمایی (exponential law) در این توپولوژی برقرار است: اگر

\[ X \]

موضعا فشرده و هاسدورف باشد، آن گاه

\[ C(X \times Y, Z) \cong C(X, C(Y,Z)) \]

.

\[ \mathcal{B} = \{ W(K,U) \mid K \subseteq X \text{ فشرده}, U \subseteq Y \text{ باز} \} \]

توپولوژی فشرده-باز ابزاری اساسی در توپولوژی جبری و آنالیز تابعی است.