گسترش آلکساندرُف (Alexandroff Extension)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
گسترش آلکساندرُف (Alexandroff Extension) :
گسترش آلکساندرُف (Alexandroff extension) یا هم فشرده سازی یک نقطه ای (one-point compactification) یک روش برای فشرده سازی فضاهای موضعا فشرده و هاسدورف است. این روش توسط پاول آلکساندرُف (Pavel Alexandroff) معرفی شد.
اگر
\[ X \]یک فضای موضعا فشرده و هاسدورف باشد (اما فشرده نباشد)، هم فشرده سازی یک نقطه ای
\[ X^* = X \cup \{\infty\} \]با توپولوژی که در آن مجموعه های باز عبارتند از: همه مجموعه های باز
\[ X \]و مجموعه هایی که شامل
\[ \infty \]هستند و متمم آنها در
\[ X \]فشرده است. این فضا فشرده و هاسدورف است.
ویژگی ها:
این هم فشرده سازی کمترین (minimal) هم فشرده سازی هاسدورف است (هر هم فشرده سازی دیگر با نگاشت پیوسته به این فضا عامل می شود).
برای
\[ \mathbb{R}^n \]، هم فشرده سازی یک نقطه ای برابر با کره
\[ S^n \]است.
برای یک فضای گسسته نامتناهی، هم فشرده سازی یک نقطه ای برابر با یک فضای فشرده با یک نقطه حدی است.
این گسترش در توپولوژی عمومی و آنالیز کاربرد دارد.
\[ X^* = X \cup \{\infty\}, \quad \text{مجموعه های باز شامل } \infty: \{ \infty \} \cup (X \setminus K), K \text{ فشرده} \]گسترش آلکساندرُف ساده ترین راه برای فشرده سازی فضاهای موضعا فشرده است.
