فضای حلقه (Loop Space)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای حلقه (Loop Space) :

فضای حلقه (Loop space) یک مفهوم اساسی در توپولوژی جبری است. برای یک فضای توپولوژیک نقطه دار

\[ (X, x_0) \]

، فضای حلقه

\[ \Omega X \]

مجموعه همه مسیرهای بسته (حلقه ها) بر پایه

\[ x_0 \]

است، یعنی همه نگاشت های پیوسته

\[ \gamma: [0,1] \to X \]

با

\[ \gamma(0)=\gamma(1)=x_0 \]

. این فضا با توپولوژی فشرده-باز (compact-open topology) تجهیز می شود.

فضای حلقه یک فضای نقطه دار است (با حلقه ثابت به عنوان نقطه مبنا). عمل ترکیب حلقه ها (الحاق مسیرها) یک ساختار گروهی تا هموتوپی روی

\[ \Omega X \]

ایجاد می کند و

\[ \pi_n(X) \cong \pi_{n-1}(\Omega X) \]

.

ویژگی ها:

فضای حلقه یک فضای

\[ H \]

-گروه (H-group) است.

تکرار فضای حلقه

\[ k \]

بار، فضای

\[ \Omega^k X \]

را به دست می دهد که با گروه های هموتوپی بالاتر مرتبط است.

این مفهوم در نظریه هموتوپی و جراحی (surgery theory) اهمیت دارد.

برای فضای

\[ X \]

، رابطه

\[ \pi_n(X) \cong \pi_{n-1}(\Omega X) \]

برقرار است.

\[ \Omega X = \{ \gamma: [0,1] \to X \mid \gamma(0)=\gamma(1)=x_0 \} \]

فضاهای حلقه ابزاری اساسی برای مطالعه ساختار هموتوپی فضاها هستند.