توپولوژی فوق ضعیف (Ultraweak Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی فوق ضعیف (Ultraweak Topology) :
توپولوژی فوق ضعیف (Ultraweak topology) که با نام توپولوژی σ-ضعیف (σ-weak topology) نیز شناخته می شود، یک توپولوژی روی فضای عملگرهای خطی کراندار روی یک فضای هیلبرت است. این توپولوژی توسط خانواده ای از نیم نرم های
\[ p_{(\xi_n),(\eta_n)}(T) = \sum_{n=1}^\infty |\langle T\xi_n, \eta_n\rangle| \]تعریف می شود که در آن
\[ (\xi_n) \]و
\[ (\eta_n) \]دنباله هایی با مجموع مربع های نرم متناهی هستند.
این توپولوژی قوی تر از توپولوژی ضعیف عملگری است و با دوگان (predual) جبر فون نویمان مرتبط است. در واقع، توپولوژی فوق ضعیف روی یک جبر فون نویمان، توپولوژی ضعیف* (weak* topology) ناشی از دوگان آن است.
ویژگی ها:
این توپولوژی در مطالعه جبرهای فون نویمان (von Neumann algebras) بسیار مهم است.
جبرهای فون نویمان دقیقا جبرهای عملگری هستند که در توپولوژی فوق ضعیف بسته هستند.
این توپولوژی با توپولوژی حاصل از دوگان (predual) تطابق دارد.
توپولوژی فوق ضعیف ضعیف تر از توپولوژی نرم است اما قوی تر از توپولوژی ضعیف عملگری.
\[ T_\alpha \xrightarrow{UW} T \iff \forall \rho \in B(H)_*, \rho(T_\alpha) \to \rho(T) \]توپولوژی فوق ضعیف برای مطالعه ساختار جبرهای فون نویمان اساسی است.
