توپولوژی همگرایی نقطه ای (Pointwise Convergence Topology)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

توپولوژی همگرایی نقطه ای (Pointwise Convergence Topology) :

توپولوژی همگرایی نقطه ای (Pointwise convergence topology) روی فضای توابع از یک مجموعه

\[ X \]

به یک فضای توپولوژیک

\[ Y \]

، ضعیف ترین توپولوژی است که در آن تابع های ارزیابی (evaluation functionals) پیوسته هستند. این توپولوژی همان توپولوژی حاصلضرب (product topology) روی

\[ Y^X \]

است.

در این توپولوژی، یک شبکه از توابع

\[ (f_\alpha) \]

به تابع

\[ f \]

همگرا است اگر و فقط اگر برای هر

\[ x \in X \]

،

\[ f_\alpha(x) \to f(x) \]

در

\[ Y \]

. به عبارت دیگر، همگرایی نقطه ای است.

ویژگی ها:

این توپولوژی معمولا متریک پذیر نیست (مگر اینکه

\[ X \]

شمارا و

\[ Y \]

متریک پذیر باشد).

فضای توابع با این توپولوژی، یک فضای تیخونوف (Tychonoff) است (چون حاصلضرب فضاهای تیخونوف، تیخونوف است).

قضیه آسکلی (Ascoli's theorem) در مورد فشردگی در این توپولوژی (با توپولوژی یکنواخت متفاوت است).

این توپولوژی در آنالیز تابعی و نظریه احتمال (برای همگرایی توابع توزیع) کاربرد دارد.

\[ f_\alpha \to f \iff \forall x \in X, f_\alpha(x) \to f(x) \]

توپولوژی همگرایی نقطه ای طبیعی ترین توپولوژی روی فضاهای تابعی است.