خط تصویری گسترش یافته (Projectively Extended Real Line)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

خط تصویری گسترش یافته (Projectively Extended Real Line) :

خط تصویری گسترش یافته (Projectively extended real line) که با نماد

\[ \mathbb{RP}^1 \]

یا

\[ \overline{\mathbb{R}} \]

نیز نمایش داده می شود، فضایی است که از افزودن یک نقطه در بی نهایت به خط حقیقی به دست می آید، اما به گونه ای که این نقطه هم

\[ +\infty \]

و هم

\[ -\infty \]

را یکی می کند. این فضا هم مورف با دایره

\[ S^1 \]

است.

این فضا را می توان به عنوان مجموعه خط های یک بعدی گذرنده از مبدأ در

\[ \mathbb{R}^2 \]

در نظر گرفت، یا به عنوان خارج قسمت

\[ \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \]

تحت رابطه هم خطی

\[ (x,y) \sim \lambda (x,y) \]

. این فضا یک منیفلد ۱-بعدی فشرده و همبند است.

ویژگی ها:

این فضا با دایره

\[ S^1 \]

هم مورف است.

برخلاف خط گسترش یافته معمولی (

\[ \mathbb{R} \cup \{\pm\infty\} \]

) که هم مورف با بازه

\[ [0,1] \]

است، در اینجا

\[ +\infty \]

و

\[ -\infty \]

یکسان هستند.

این فضا در هندسه تصویری و آنالیز مختلط (به عنوان خط تصویری حقیقی) اهمیت دارد.

گروه بنیادی آن

\[ \mathbb{Z} \]

است.

\[ \mathbb{RP}^1 = (\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}) / \sim, \quad (x,y) \sim \lambda (x,y) \]

خط تصویری گسترش یافته یک مثال ساده از فضای تصویری است.