فضای موضعا متریک پذیر (Locally Metrizable Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای موضعا متریک پذیر (Locally Metrizable Space) :
فضای موضعا متریک پذیر (Locally metrizable space) فضایی است که هر نقطه آن یک همسایگی متریک پذیر داشته باشد. یعنی برای هر
\[ x \in X \]، یک مجموعه باز
\[ U \]حاوی
\[ x \]وجود دارد که
\[ U \]با توپولوژی زیرفضایی متریک پذیر باشد.
این مفهوم ضعیف تر از متریک پذیری است. بسیاری از فضاها مانند منیفلدها موضعا متریک پذیر هستند (چون موضعا شبیه
\[ \mathbb{R}^n \]هستند).
ویژگی ها:
هر فضای متریک پذیر، موضعا متریک پذیر است.
هر منیفلد توپولوژیک، موضعا متریک پذیر است.
خط سورگنفرای موضعا متریک پذیر است؟ بله، هر نقطه
\[ x \]یک همسایگی
\[ [x,x+\varepsilon) \]دارد که با خط سورگنفرای هم مورف است و متریک پذیر نیست؟ در واقع
\[ [x,x+\varepsilon) \]با توپولوژی زیرفضایی از خط سورگنفرای، هم مورف با خود خط سورگنفرای است که متریک پذیر نیست. پس موضعا متریک پذیر نیست. برای موضعا متریک پذیر بودن، همسایگی باید متریک پذیر باشد، نه اینکه هم مورف با فضای غیرمتریک پذیر باشد.
فضاهای موضعا متریک پذیر و پارافشرده، متریک پذیر هستند (قضیه اسمیرنوف).
\[ \forall x \in X, \exists U \in \mathcal{T}: x \in U, U \text{ متریک پذیر است} \]موضعا متریک پذیر بودن شرطی ضعیف تر از متریک پذیری است و در نظریه منیفلدها اهمیت دارد.
