فضای متریک پذیر (Metrizable Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای متریک پذیر (Metrizable Space) :
فضای متریک پذیر (Metrizable space) یک فضای توپولوژیک است که با یک متر (distance function) سازگار باشد. یعنی یک متر
\[ d: X \times X \to [0,\infty) \]وجود دارد به طوری که توپولوژی حاصل از متر با توپولوژی داده شده یکسان باشد.
این فضاها خواص بسیار خوبی دارند: اول-شمارا، هاسدورف، نرمال، پارافشرده و ... هستند. قضیه متریک پذیری اوریسون (Urysohn metrization theorem) شرط کافی برای متریک پذیری فضاهای شمارا-دوم و منظم را بیان می کند.
ویژگی ها:
هر فضای متریک پذیر، هاسدورف و نرمال است.
هر فضای متریک پذیر، شمارا-اول (first-countable) است.
فضاهای متریک پذیر و فشرده، دارای پایه شمارا هستند.
خط سورگنفرای متریک پذیر نیست (چون شمارا-دوم نیست و نرمال است؟ در واقع خط سورگنفرای نرمال است اما متریک پذیر نیست زیرا دارای پایه شمارا نیست و قضیه اوریسون را نقض می کند).
فضاهای متریک پذیر در آنالیز تابعی و هندسه دیفرانسیل اهمیت دارند.
\[ \exists d: X \times X \to [0,\infty) \text{ متر} \quad \text{و} \quad \mathcal{T}_d = \mathcal{T} \]متریک پذیری به ما اجازه می دهد از مفاهیم آنالیز حقیقی مانند دنباله ها و پیوستگی استفاده کنیم.
