فضای فشرده (Compact Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای فشرده (Compact Space) :
فضای فشرده (Compact space) یک فضای توپولوژیک است که هر پوشش باز آن دارای یک زیرپوشش متناهی باشد. به عبارت دیگر، اگر
\[ \{U_\alpha\}_{\alpha \in I} \]یک خانواده از مجموعه های باز باشد به طوری که
\[ X = \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha \]، آن گاه زیرمجموعه متناهی
\[ I_0 \subseteq I \]وجود دارد که
\[ X = \bigcup_{\alpha \in I_0} U_\alpha \].
فشردگی یکی از مهم ترین مفاهیم در توپولوژی و آنالیز است. این مفهوم تعمیمی از مفهوم «بسته و کراندار» در فضاهای اقلیدسی است (قضیه هاینه-بورل).
ویژگی ها:
تصویر پیوسته یک فضای فشرده، فشرده است.
هر زیرمجموعه بسته از یک فضای فشرده، فشرده است.
در یک فضای هاسدورف، زیرمجموعه های فشرده بسته هستند.
حاصلضرب فضاهای فشرده، فشرده است (قضیه تیخونوف).
توابع پیوسته روی یک فضای فشرده به ماکزیمم و مینیمم می رسند.
\[ \forall \{U_\alpha\}_{\alpha \in I} \text{ پوشش باز } X, \exists I_0 \subseteq I, |I_0| < \infty: X = \bigcup_{\alpha \in I_0} U_\alpha \]فضاهای فشرده در آنالیز و توپولوژی جبری نقش اساسی دارند.
