فضای شمارا-اول (First-countable Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای شمارا-اول (First-countable Space) :
فضای شمارا-اول (First-countable space) فضایی است که هر نقطه آن دارای یک پایه موضعی شمارا (countable local base) باشد. یعنی برای هر نقطه
\[ x \]، مجموعه ای از همسایگی های
\[ x \]مانند
\[ \{U_n\}_{n \in \mathbb{N}} \]وجود دارد که هر همسایگی
\[ x \]شامل یکی از
\[ U_n \]ها باشد.
این خاصیت برای مطالعه همگرایی دنباله ها بسیار مهم است. در فضاهای شمارا-اول، توپولوژی به طور کامل توسط همگرایی دنباله ها تعیین می شود.
ویژگی ها:
هر فضای متریک، شمارا-اول است (گوی های باز با شعاع
\[ 1/n \]یک پایه موضعی شمارا می سازند).
هر فضای شمارا-دوم (second-countable)، شمارا-اول است.
خط سورگنفرای (Sorgenfrey line) شمارا-اول است اما شمارا-دوم نیست.
فضاهای شمارا-اول لزوما هاسدورف نیستند (اما معمولا هاسدورف در نظر گرفته می شوند).
در یک فضای شمارا-اول، یک نقطه
\[ x \]در بستار
\[ A \]است اگر و فقط اگر دنباله ای در
\[ A \]به
\[ x \]همگرا باشد.
\[ \forall x \in X, \exists \{U_n\}_{n \in \mathbb{N}} \text{ پایه موضعی در } x \]فضاهای شمارا-اول برای نظریه همگرایی دنباله ها ایده آل هستند.
