فضای نرمال (Normal Space)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای نرمال (Normal Space) :

فضای نرمال (Normal space) یک فضای

\[ T_1 \]

است که در آن هر دو مجموعه بسته و مجزا را می توان با مجموعه های باز مجزا از هم جدا کرد. یعنی اگر

\[ A \]

و

\[ B \]

دو مجموعه بسته با

\[ A \cap B = \emptyset \]

باشند، آن گاه دو مجموعه باز

\[ U \]

و

\[ V \]

وجود دارند به طوری که

\[ A \subseteq U \]

،

\[ B \subseteq V \]

و

\[ U \cap V = \emptyset \]

.

نرمال بودن یک اصل جداگانگی قوی است. بسیاری از فضاهای مهم مانند فضاهای متریک و فضاهای فشرده-هاسدورف نرمال هستند.

ویژگی ها:

قضیه اوریسون (Urysohn's lemma) در فضاهای نرمال برقرار است: برای دو مجموعه بسته مجزا، یک تابع پیوسته به

\[ [0,1] \]

وجود دارد که روی یکی ۰ و روی دیگری ۱ است.

قضیه توسیع تیتزه (Tietze extension theorem) نیز در فضاهای نرمال معتبر است.

هر فضای متریک، نرمال است.

حاصلضرب فضاهای نرمال لزوما نرمال نیست (مثال: تخته تیخونوف).

\[ \forall A,B \subseteq X \text{ بسته و مجزا}, \exists U,V \in \mathcal{T}: A \subseteq U, B \subseteq V, U \cap V = \emptyset \]

فضاهای نرمال برای توسیع توابع پیوسته بسیار مهم هستند.