فضای تیخونوف / فضای کاملا منظم (Tychonoff Space / Completely Regular)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای تیخونوف / فضای کاملا منظم (Tychonoff Space / Completely Regular) :

فضای تیخونوف (Tychonoff space) یا فضای کاملا منظم (completely regular) یک فضای

\[ T_1 \]

است که در آن برای هر نقطه

\[ x \]

و هر مجموعه بسته

\[ A \]

با

\[ x \notin A \]

، یک تابع پیوسته

\[ f: X \to [0,1] \]

وجود دارد به طوری که

\[ f(x) = 0 \]

و

\[ f(A) = \{1\} \]

. یعنی می توان نقطه را از مجموعه بسته با یک تابع پیوسته جدا کرد.

این فضاها به نام آندری تیخونوف (Andrey Tychonoff) نامگذاری شده اند و نقش اساسی در آنالیز تابعی و توپولوژی دارند. مهم ترین ویژگی: هر فضای تیخونوف را می توان در یک مکعب

\[ [0,1]^J \]

(برای برخی

\[ J \]

) نشاند (قضیه نمایش تیخونوف).

ویژگی ها:

هر فضای تیخونوف، منظم است.

حاصلضرب فضاهای تیخونوف، تیخونوف است.

فضاهای متریک پذیر، تیخونوف هستند.

فضاهای موضعا فشرده و هاسدورف، تیخونوف هستند.

مثال از فضای منظم که تیخونوف نیست وجود دارد (فضای تیخونوف شرط قوی تری است).

\[ \forall x \in X, \forall A \subseteq X \text{ بسته}, x \notin A, \exists f: X \to [0,1] \text{ پیوسته}: f(x)=0, f|_A=1 \]

فضاهای تیخونوف فضاهای «خوش رفتار» از نظر وجود توابع پیوسته هستند.