فضای هاسدورف (Hausdorff Space / T2)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای هاسدورف (Hausdorff Space / T2) :

فضای هاسدورف (Hausdorff space) یا فضای

\[ T_2 \]

یک فضای توپولوژیک است که در آن هر دو نقطه متمایز را می توان با مجموعه های باز مجزا (disjoint) از هم جدا کرد. به بیان دقیق: برای هر

\[ x \neq y \]

، دو مجموعه باز

\[ U \]

و

\[ V \]

وجود دارند به طوری که

\[ x \in U \]

،

\[ y \in V \]

و

\[ U \cap V = \emptyset \]

.

این شرط یکی از مهم ترین اصول جداگانگی است و تقریبا همه فضاهای مهم در آنالیز و هندسه (مانند فضاهای متریک، منیفلدها) هاسدورف هستند.

ویژگی ها:

در فضاهای هاسدورف، حد دنباله ها (اگر وجود داشته باشد) یکتاست.

هر زیرفضای یک فضای هاسدورف، هاسدورف است.

حاصلضرب فضاهای هاسدورف، هاسدورف است.

هر فضای فشرده و هاسدورف، نرمال (

\[ T_4 \]

) است.

مثال های نقض: خط با دو مبدأ (line with two origins) یک فضای

\[ T_1 \]

است که هاسدورف نیست.

\[ \forall x \neq y, \exists U,V \in \mathcal{T}: x \in U, y \in V, U \cap V = \emptyset \]

فضاهای هاسدورف سنگ بنای توپولوژی عمومی و آنالیز ریاضی هستند.