توپولوژی متمم-فشرده (Compact Complement Topology)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

توپولوژی متمم-فشرده (Compact Complement Topology) :

توپولوژی متمم-فشرده (Compact complement topology) روی یک مجموعه

\[ X \]

(معمولا

\[ \mathbb{R} \]

) تعریف می شود. در این توپولوژی، یک مجموعه

\[ U \]

باز است اگر یا

\[ U = \emptyset \]

باشد، یا

\[ X \setminus U \]

(متمم

\[ U \]

) در توپولوژی معمولی فشرده (compact) باشد.

به عبارت دیگر، مجموعه های باز عبارتند از: مجموعه تهی و مجموعه هایی که متمم آنها فشرده است. این توپولوژی روی

\[ \mathbb{R} \]

(با توپولوژی معمولی) تعریف می شود، اما متمم فشرده بودن در توپولوژی معمولی سنجیده می شود.

ویژگی ها:

این فضا یک فضای

\[ T_1 \]

است (چون نقاط بسته هستند: متمم یک نقطه

\[ \mathbb{R} \setminus \{x\} \]

فشرده نیست، پس نقطه بسته است).

هاسدورف نیست، زیرا دو نقطه را نمی توان با مجموعه های باز جدا کرد.

این فضا فشرده است (چون هر پوشش باز شامل یک مجموعه باز است که متمم فشرده دارد).

این توپولوژی روی

\[ \mathbb{R} \]

همبند است.

\[ \mathcal{T} = \{ U \subseteq \mathbb{R} \mid U = \emptyset \text{ یا } \mathbb{R} \setminus U \text{ فشرده است} \} \]

این فضا یک مثال از فضای

\[ T_1 \]

و فشرده که هاسدورف نیست.