توپولوژی جعبه ای (Box Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی جعبه ای (Box Topology) :
توپولوژی جعبه ای (Box topology) یک توپولوژی روی حاصلضرب دلخواه از فضاهای توپولوژیک است. برخلاف توپولوژی ضربی (product topology) که در آن فقط حاصلضرب متناهی از مجموعه های باز باز است، در توپولوژی جعبه ای حاصلضرب دلخواه (حتی نامتناهی) از مجموعه های باز نیز باز است.
تعریف: اگر
\[ \{X_\alpha\}_{\alpha \in I} \]یک خانواده از فضاهای توپولوژیک باشد، توپولوژی جعبه ای روی
\[ \prod X_\alpha \]توسط پایه ای از مجموعه های
\[ \prod U_\alpha \]که در آن هر
\[ U_\alpha \]در
\[ X_\alpha \]باز است، تولید می شود.
ویژگی ها:
این توپولوژی از توپولوژی ضربی قوی تر است (مجموعه های باز بیشتری دارد).
برای حاصلضرب های متناهی، توپولوژی جعبه ای با توپولوژی ضربی یکسان است.
برای حاصلضرب های نامتناهی، این توپولوژی معمولا خواص مطلوبی مانند پیوستگی توابع را خراب می کند. مثلا تابع همانی از
\[ \mathbb{R}^\omega \]با توپولوژی ضربی به
\[ \mathbb{R}^\omega \]با توپولوژی جعبه ای پیوسته نیست.
این توپولوژی فشرده نیست (حتی اگر هر عامل فشرده باشد).
\[ \mathcal{B} = \left\{ \prod_{\alpha \in I} U_\alpha \mid U_\alpha \text{ باز در } X_\alpha \right\} \]توپولوژی جعبه ای بیشتر به عنوان مثال نقض در توپولوژی عمومی استفاده می شود.
