مجموعه اسمیت-ولترا-کانتور (Smith–Volterra–Cantor Set)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مجموعه اسمیت-ولترا-کانتور (Smith–Volterra–Cantor Set) :
مجموعه اسمیت-ولترا-کانتور (Smith–Volterra–Cantor set) که با نام مجموعه کانتور چاق (fat Cantor set) نیز شناخته می شود، یک تغییر از مجموعه کانتور کلاسیک است. این مجموعه توسط هنری اسمیت (Henry Smith) و ویتو ولترا (Vito Volterra) معرفی شد.
ساختار: مشابه مجموعه کانتور، با بازه
\[ [0,1] \]شروع می کنیم. در مرحله اول، یک بازه به طول
\[ 1/4 \]از وسط حذف می کنیم (مثلا
\[ [3/8,5/8] \]). در مرحله دوم، از هر یک از دو بازه باقی مانده، یک بازه به طول
\[ 1/16 \]از وسط حذف می کنیم. در مرحله
\[ n \]ام، بازه هایی به طول
\[ 1/4^n \]حذف می شوند.
ویژگی ها:
این مجموعه فشرده (compact) و کامل (perfect) است (همه نقاط نقطه ی حدی هستند).
برخلاف مجموعه کانتور کلاسیک که اندازه (طول) صفر دارد، این مجموعه دارای اندازه مثبت است (چون مجموع طول بازه های حذف شده
\[ 1/2 \]است، پس اندازه آن
\[ 1/2 \]می شود).
این مجموعه هیچ جا چگال (nowhere dense) نیست (مثل کانتور).
این مثال نشان می دهد که یک مجموعه می تواند هم مورف با مجموعه کانتور باشد اما اندازه مثبت داشته باشد.
\[ \text{طول کل حذف شده} = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-1} \cdot \frac{1}{4^n} = \frac{1}{2} \]مجموعه اسمیت-ولترا-کانتور در آنالیز و نظریه اندازه اهمیت دارد.
