خم پرکننده فضا (Space-filling Curve)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
خم پرکننده فضا (Space-filling Curve) :
خم پرکننده فضا (Space-filling curve) یک نگاشت پیوسته از بازه
\[ [0,1] \]به یک مربع
\[ [0,1]^2 \](یا به طور کلی به یک مکعب
\[ n \]-بعدی) است که پوشا (surjective) باشد. به عبارت دیگر، یک خم (منحنی) که کل یک ناحیه دوبعدی را پر می کند. اولین مثال توسط جوزپه پئانو (Giuseppe Peano) در سال ۱۸۹۰ ساخته شد.
این منحنی ها علی رغم اینکه تصویر یک بازه یک بعدی هستند، دارای بعد توپولوژیک ۲ هستند (چون کل مربع را می پوشانند). آنها پیوسته اما یک به یک نیستند (نمی توانند یک به یک باشند چون آنگاه هم مورفیسم می شدند).
مثال های معروف: خم پئانو (Peano curve)، خم هیلبرت (Hilbert curve)، خم مور (Moore curve). این خم ها در علوم کامپیوتر (برای مرتب سازی مکانی) و پردازش تصویر کاربرد دارند.
\[ \exists \gamma: [0,1] \to [0,1]^2 \quad \text{پیوسته و پوشا} \]وجود خم های پرکننده فضا نشان می دهد که بعد توپولوژیک یک مفهوم ظریف تر از حدس اولیه است.
