شار خطی روی چنبره (Linear Flow on the Torus)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
شار خطی روی چنبره (Linear Flow on the Torus) :
شار خطی روی چنبره (Linear flow on the torus) یک سیستم دینامیکی روی چنبره
\[ T^2 = S^1 \times S^1 \]است که با معادلات دیفرانسیل
\[ \frac{d\theta_1}{dt} = \omega_1 \]،
\[ \frac{d\theta_2}{dt} = \omega_2 \]تعریف می شود، که در آن
\[ \omega_1 \]و
\[ \omega_2 \]ثابت های حقیقی هستند. این شار یک جریان (flow) روی چنبره ایجاد می کند.
اگر نسبت
\[ \omega_1 / \omega_2 \]گویا باشد، همه مسیرها بسته (periodic) هستند و چنبره به صورت یک خانواده از دایره های موازی تجزیه می شود. اگر این نسبت گنگ باشد، هر مسیر در چنبره چگال (dense) است و هرگز به خودش برنمی گردد. در این حالت، شار یک جریان حداقل گرا (minimal flow) است.
ویژگی ها:
شارهای خطی با نسبت گنگ، مثال هایی از جریان های چگال (dense flows) هستند.
این شارها در نظریه سیستم های دینامیکی و مکانیک کلاسیک کاربرد دارند.
فضای این جریان ها (به عنوان یک فضای توپولوژیک) خود چنبره است، اما دینامیک آن بسیار جالب توجه است.
\[ \frac{d\theta_1}{dt} = \omega_1, \quad \frac{d\theta_2}{dt} = \omega_2, \quad (\theta_1, \theta_2) \in T^2 \]شار خطی روی چنبره یکی از ساده ترین و در عین حال عمیق ترین مثال ها در نظریه سیستم های دینامیکی است.
