گردنبند آنتوان (Antoine's Necklace)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
گردنبند آنتوان (Antoine's Necklace) :
گردنبند آنتوان (Antoine's necklace) یک مثال معروف در توپولوژی و نظریه مجموعه ها است که توسط لوئی آنتوان (Louis Antoine) در سال ۱۹۲۰ معرفی شد. این فضا یک مجموعه کانتور مانند (Cantor set) در
\[ \mathbb{R}^3 \]است که مکمل آن همبند ساده نیست.
ساختار: با یک چنبره توپر (solid torus) شروع می کنیم. داخل آن یک زنجیره از چنبره های توپر (شبیه به حلقه های یک گردنبند) قرار می دهیم که به هم متصل هستند. سپس این فرایند را برای هر یک از آن چنبره ها تکرار می کنیم. در حد بی نهایت، یک مجموعه با اندازه صفر (zero volume) به دست می آید که هم مورف با مجموعه کانتور است.
ویژگی ها:
این فضا یک مجموعه کانتور وحشی (wild Cantor set) است.
مکمل آن در
\[ \mathbb{R}^3 \]همبند ساده نیست (گروه بنیادی غیربدیهی دارد).
این مثال نشان می دهد که جاسازی های مجموعه کانتور در فضای ۳-بعدی می توانند بسیار پیچیده باشند.
\[ \text{Antoine's necklace} = \bigcap_{n=1}^{\infty} T_n \quad \text{که } T_n \text{ چنبره های تودرتو هستند} \]گردنبند آنتوان در نظریه گره ها و توپولوژی هندسی اهمیت دارد.
