کره شاخدار الکساندر (Alexander Horned Sphere)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
کره شاخدار الکساندر (Alexander Horned Sphere) :
کره شاخدار الکساندر (Alexander horned sphere) یک مثال معروف در توپولوژی است که توسط جیمز وادل الکساندر دوم (James Waddell Alexander II) در سال ۱۹۲۴ معرفی شد. این فضا یک رویه (سطح) در
\[ \mathbb{R}^3 \]است که با کره
\[ S^2 \]هم مورف است، اما نحوه جای گیری آن در فضا بسیار پیچیده است.
ساختار: با یک کره شروع می کنیم و یک جفت شاخ (horn) به آن اضافه می کنیم که به طور نامتناهی منشعب می شوند و به هم قفل می شوند. نتیجه یک کره توپولوژیک (هم مورف با
\[ S^2 \]) است که در
\[ \mathbb{R}^3 \]جاسازی شده، اما مکمل آن (کامپلمان) ساده-همبند (simply connected) نیست. به عبارت دیگر، مکمل کره شاخدار الکساندر همبند ساده نیست (گروه بنیادی غیربدیهی دارد).
ویژگی ها:
این فضا یک کره وحشی (wild sphere) است: نمی توان آن را با یک کره صاف (smooth) با یک دیفئومورفیسم جایگزین کرد.
مکمل آن در
\[ \mathbb{R}^3 \]یک گروه بنیادی پیچیده دارد.
این مثال نشان می دهد که قضیه ژوردان (Jordan curve theorem) برای سطوح پیچیده می شود.
\[ \pi_1(\mathbb{R}^3 \setminus \text{Alexander sphere}) \neq \{1\} \]کره شاخدار الکساندر یک مثال کلاسیک در توپولوژی هندسی است.
