خط تصویری حقیقی (Real Projective Line)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

خط تصویری حقیقی (Real Projective Line) :

خط تصویری حقیقی (Real projective line) که با نماد

\[ \mathbb{RP}^1 \]

نشان داده می شود، فضای خارج قسمت دایره

\[ S^1 \]

تحت عمل گروه دوعضوی

\[ \mathbb{Z}_2 \]

است که نقاط متقابل (آنتيپودال) را شناسایی می کند. این فضا هم مورف با دایره

\[ S^1 \]

است.

تعریف:

\[ \mathbb{RP}^1 = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} / \sim \]

که در آن

\[ (x,y) \sim \lambda (x,y) \]

برای هر

\[ \lambda \neq 0 \]

. این فضا را می توان به عنوان مجموعه خط های یک بعدی گذرنده از مبدأ در صفحه در نظر گرفت. هر خط با زاویه اش مشخص می شود، و زوایای مخالف (

\[ \theta \]

و

\[ \theta+\pi \]

) یک خط را نشان می دهند.

ویژگی ها:

\[ \mathbb{RP}^1 \]

یک منیفلد ۱-بعدی فشرده و همبند است.

این فضا هم مورف با دایره

\[ S^1 \]

است (پس گروه بنیادی آن

\[ \mathbb{Z} \]

است).

در هندسه تصویری، این فضا به عنوان مجموعه نقاط در خط تصویری شناخته می شود.

\[ \mathbb{RP}^1 \cong S^1 \cong \{ e^{i\theta} \mid 0 \le \theta \le \pi \} / \sim \]

خط تصویری حقیقی پایه ای برای فضاهای تصویری با ابعاد بالاتر است.