خط با دو مبدأ (Line with Two Origins)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

خط با دو مبدأ (Line with Two Origins) :

خط با دو مبدأ (Line with two origins) یک فضای توپولوژیک است که از خط حقیقی

\[ \mathbb{R} \]

با دو کپی از نقطه

\[ 0 \]

ساخته می شود. این فضا یک مثال کلاسیک از فضایی است که

\[ T_1 \]

است اما هاسدورف نیست، و همچنین نشان می دهد که لزومی ندارد حد دنباله ها یکتا باشد.

ساختار: مجموعه

\[ X = \mathbb{R} \times \{0,1\} / \sim \]

را در نظر بگیرید، به طوری که

\[ (x,0) \sim (x,1) \]

برای

\[ x \neq 0 \]

، و

\[ (0,0) \]

و

\[ (0,1) \]

دو نقطه مجزا هستند. این فضا را می توان به عنوان دو خط موازی که در همه نقاط به جز مبدأ به هم چسبیده اند تصور کرد.

ویژگی ها:

این فضا یک فضای

\[ T_1 \]

است (چون نقاط بسته هستند).

هاسدورف نیست، زیرا دو مبدأ را نمی توان با مجموعه های باز جدا کرد (هر همسایگی یک مبدأ شامل نقاطی از خط است که با مبدأ دیگر اشتراک دارد).

دنباله

\[ (1/n) \]

به هر دو مبدأ همگرا است!

\[ X = (\mathbb{R} \times \{0,1\}) / \sim, \quad (x,0) \sim (x,1) \text{ برای } x \neq 0 \]

این فضا در درس توپولوژی عمومی به عنوان مثال نقض معروف است.