فضای لنز (Lens Space)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

فضای لنز (Lens Space) :

فضاهای لنز (Lens spaces) خانواده ای از فضاهای ۳-بعدی (و به طور کلی

\[ (2n-1) \]

-بعدی) هستند که با عمل گروه های دوری روی کره ها به دست می آیند. ساده ترین مثال، فضای لنز

\[ L(p,q) \]

است که خارج قسمت کره

\[ S^3 \]

تحت یک عمل گروه دوری

\[ \mathbb{Z}_p \]

است.

تعریف: کره

\[ S^3 \subset \mathbb{C}^2 \]

را در نظر بگیرید. عمل

\[ \mathbb{Z}_p \]

به صورت

\[ (z_1, z_2) \mapsto (\omega z_1, \omega^q z_2) \]

که

\[ \omega = e^{2\pi i / p} \]

و

\[ q \]

عددی طبیعی با

\[ q \]

و

\[ p \]

نسبت به هم اول هستند. فضای حاصل

\[ L(p,q) \]

نامیده می شود.

ویژگی ها:

فضاهای لنز ۳-بعدی فشرده، همبند، و جهت پذیر (orientable) هستند.

گروه بنیادی

\[ L(p,q) \]

برابر

\[ \mathbb{Z}_p \]

است.

دو فضای لنز

\[ L(p,q) \]

و

\[ L(p,q') \]

اگر و تنها اگر

\[ q \equiv \pm q'^{\pm 1} \pmod{p} \]

هم مورف هستند.

این فضاها در نظریه گره ها و جراحی (surgery) اهمیت دارند.

\[ L(p,q) = S^3 / \mathbb{Z}_p \quad \text{با عمل } (z_1,z_2) \mapsto (e^{2\pi i/p} z_1, e^{2\pi i q/p} z_2) \]

فضاهای لنز اولین بار توسط هاینز هوف (Heinz Hopf) معرفی شدند.