بطری کلاین (Klein Bottle)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بطری کلاین (Klein Bottle) :
بطری کلاین (Klein bottle) یک سطح (منیفلد ۲-بعدی) فشرده و بدون مرز است که رویه ای غیرجهت پذیر (non-orientable) می باشد. این فضا را می توان با چسباندن دو نوار موبیوس (Möbius strip) به هم یا با شناسایی اضلاع یک مربع به صورت خاص ساخت.
ساختار: یک مربع
\[ [0,1] \times [0,1] \]را در نظر بگیرید. اضلاع افقی را به طور معمول (هم جهت) و اضلاع عمودی را با وارونگی جهت به هم بچسبانید. یعنی
\[ (x,0) \sim (x,1) \]و
\[ (0,y) \sim (1,1-y) \]. نتیجه یک سطح فشرده، همبند و غیرجهت پذیر است.
ویژگی ها:
گروه بنیادی بطری کلاین:
\[ \pi_1(K) = \langle a,b \mid a b a^{-1} b = 1 \rangle \].
این فضا در
\[ \mathbb{R}^3 \]قابل رویت سازی است اما با خودش تقاطع دارد (برای غوطه وری در
\[ \mathbb{R}^3 \]نیاز به تقاطع با خود است).
مشخصه اویلر (Euler characteristic) بطری کلاین برابر ۰ است.
\[ K = [0,1]^2 / \sim \quad \text{با } (x,0) \sim (x,1), \quad (0,y) \sim (1,1-y) \]بطری کلاین یک مثال اساسی در توپولوژی جبری و هندسه دیفرانسیل است.
