خط اعداد حقیقی گسترش یافته (Extended Real Number Line)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

خط اعداد حقیقی گسترش یافته (Extended Real Number Line) :

خط اعداد حقیقی گسترش یافته (Extended real number line)

\[ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\} \]

با توپولوژی مناسب، یک فضای فشرده و هاسدورف است که در آنالیز و نظریه اندازه کاربرد دارد.

توپولوژی روی

\[ \overline{\mathbb{R}} \]

به این صورت تعریف می شود: نقاط

\[ -\infty \]

و

\[ +\infty \]

همسایگی هایی به شکل

\[ [-\infty, a) \]

و

\[ (a, +\infty] \]

دارند (بازه های نیمه باز شامل بینهایت). این فضا هم مورف با بازه بسته

\[ [0,1] \]

است (با یک نگاشت مثل

\[ x \mapsto \frac{x}{1+|x|} \]

).

ویژگی ها:

این فضا یک فضای فشرده (compact) است.

این فضا همبند است (چون هم مورف با

\[ [0,1] \]

است).

این فضا یک منیفلد ۱-بعدی با مرز نیست، زیرا نقاط بینهایت مرز نیستند (همسایگی های آنها شبیه به نیم بازه نیست).

\[ \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\} \cong [0,1] \]

خط گسترش یافته در نظریه اندازه (مقادیر نامتناهی) و آنالیز حقیقی (مثل حد و sup) کاربرد دارد.