فاصله دوتایی / فضای دو-پیکان (Split Interval / Alexandrov Double Arrow Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فاصله دوتایی / فضای دو-پیکان (Split Interval / Alexandrov Double Arrow Space) :
فضای دو-پیکان (Double arrow space) که با نام "split interval" نیز شناخته می شود، یک فضای توپولوژیک فشرده و هاسدورف است که توسط پاول آلکساندرُف (Pavel Alexandrov) معرفی شد. این فضا روی بازه
\[ [0,1] \]با دو کپی از هر نقطه (به جز نقاط انتهایی) تعریف می شود.
ساختار: مجموعه
\[ X = [0,1] \times \{0,1\} \]را در نظر بگیرید، با این تفاوت که نقاط
\[ (x,0) \]و
\[ (x,1) \]برای
\[ 0 < x < 1 \]متمایز هستند، و نقاط
\[ (0,0) \]،
\[ (0,1) \]و
\[ (1,0) \]،
\[ (1,1) \]نیز جدا هستند. ترتیب لکسیکوگرافیک روی این مجموعه تعریف می شود:
\[ (x,i) < (y,j) \]اگر
\[ x < y \]یا
\[ x = y \]و
\[ i < j \]. سپس توپولوژی ترتیبی (order topology) روی این مجموعه خطی اعمال می شود.
ویژگی ها:
این فضا یک فضای فشرده و هاسدورف است.
این فضا کاملا ناهمبند (totally disconnected) است و در واقع یک فضای صفر-بعدی است.
این فضا متریک پذیر نیست (چون شمارا-دوم نیست).
این فضا هم مورف با فضای خارج قسمت از خط سورگنفرای (Sorgenfrey line) است.
\[ X = ([0,1] \times \{0,1\}) / \sim \quad \text{با ترتیب لکسیکوگرافیک} \]فضای دو-پیکان یک مثال مهم در توپولوژی عمومی و نظریه اندازه است.
