خم سینوسی توپولوژیست ها (Topologist's Sine Curve)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

خم سینوسی توپولوژیست ها (Topologist's Sine Curve) :

خم سینوسی توپولوژیست ها (Topologist's sine curve) یک زیرفضای معروف از صفحه اقلیدسی

\[ \mathbb{R}^2 \]

است که برای نشان دادن تفاوت بین همبندی و همبندی-راهی (path-connectedness) و همچنین همبندی موضعی استفاده می شود.

تعریف: این فضا شامل دو بخش است: منحنی

\[ S = \{ (x, \sin(1/x)) \mid 0 < x \le 1 \} \]

(بخش سینوسی) و پاره خط

\[ L = \{ (0,y) \mid -1 \le y \le 1 \} \]

(بخش عمودی). گاهی نقطه

\[ (0,0) \]

یا کل پاره خط اضافه می شود.

ویژگی ها:

این فضا همبند است (چون بستار

\[ S \]

برابر

\[ S \cup L \]

است و

\[ S \]

همبند است).

این فضا همبند-راه نیست: هیچ راه پیوسته ای از یک نقطه روی

\[ L \]

به یک نقطه روی

\[ S \]

وجود ندارد، زیرا باید نوسانات بی نهایت را طی کند.

این فضا همبند موضعی نیست (نقاط روی

\[ L \]

هیچ همسایگی همبندی ندارند).

\[ T = \{ (x, \sin(1/x)) \mid 0 < x \le 1 \} \cup \{ (0,y) \mid -1 \le y \le 1 \} \]

خم سینوسی یک مثال کلاسیک در توپولوژی است که در بسیاری از کتاب ها آورده شده است.