صفحه سورگنفرای (Sorgenfrey Plane)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
صفحه سورگنفرای (Sorgenfrey Plane) :
صفحه سورگنفرای (Sorgenfrey plane) حاصلضرب خط سورگنفرای در خودش است:
\[ \mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell \]، با توپولوژی ضربی. این فضا یک مثال نقض بسیار معروف در توپولوژی است.
ویژگی های صفحه سورگنفرای:
این فضا یک فضای هاسدورف و کاملا منظم است.
لیندلوف نیست، اگرچه هر یک از عوامل لیندلوف هستند. این نشان می دهد که حاصلضرب دو فضای لیندلوف لزوما لیندلوف نیست.
این فضا نرمال نیست. در واقع صفحه سورگنفرای یک مثال از فضای
\[ T_{3.5} \](کاملا منظم) است که
\[ T_4 \](نرمال) نیست.
مجموعه
\[ L = \{(x,-x) \mid x \in \mathbb{R}\} \]یک زیرمجموعه بسته و گسسته با توان نامتناهی است که نشان می دهد فضا نرمال نیست.
برای اثبات نرمال نبودن: دو مجموعه
\[ A = \{(x,-x) \mid x \in \mathbb{Q}\} \]و
\[ B = \{(x,-x) \mid x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\} \]را در نظر بگیرید. این دو مجموعه بسته و جدا هستند اما نمی توان آنها را با مجموعه های باز جدا کرد.
\[ \mathbb{R}_\ell^2 = \mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell \quad \text{با پایه } [a,b) \times [c,d) \]صفحه سورگنفرای یکی از مهم ترین مثال ها در توپولوژی عمومی است.
