توپولوژی دنباله گویا (Rational Sequence Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی دنباله گویا (Rational Sequence Topology) :
توپولوژی دنباله گویا (Rational sequence topology) روی مجموعه اعداد حقیقی
\[ \mathbb{R} \]تعریف می شود. این توپولوژی یک مثال از فضایی است که
\[ T_2 \](هاسدورف) است اما
\[ T_3 \](منظم) نیست. همچنین این فضا نشان می دهد که وجود پایه موضعی شمارا (first-countable) لزوما به معنای منظم بودن نیست.
تعریف: برای هر عدد گنگ
\[ x \]، یک دنباله از اعداد گویا
\[ (q_n) \]انتخاب می کنیم که به
\[ x \]همگرا باشد. سپس پایه توپولوژی شامل مجموعه های
\[ \{q_n, q_{n+1}, \dots\} \cup \{x\} \]برای هر
\[ x \]گنگ و هر
\[ n \]، به اضافه مجموعه های
\[ \{q\} \]برای هر
\[ q \]گویا (که مجزا هستند). به عبارت دیگر، نقاط گویا مجزا (گسسته) هستند و نقاط گنگ همسایگی هایی دارند که شامل خود نقطه و یک دنباله از اعداد گویا هستند.
این فضا یک فضای هاسدورف است (چون نقاط گویا مجزا هستند و نقاط گنگ را می توان با انتخاب دنباله های مختلف جدا کرد). اما منظم نیست: نقطه گنگ
\[ x \]و مجموعه بسته
\[ A \]از نقاط گویا که دنباله متناظر با
\[ x \]را تشکیل می دهند، قابل جدا شدن با مجموعه های باز نیستند.
\[ \text{پایه: } \{ \{q\} \mid q \in \mathbb{Q} \} \cup \{ U_{x,n} \mid x \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, n \in \mathbb{N} \} \]که
\[ U_{x,n} = \{x\} \cup \{q_m \mid m \ge n\} \]و
\[ (q_m) \]دنباله ای از اعداد گویا است که به
\[ x \]همگراست.
