توپولوژی نقطه-خاص (Particular Point Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی نقطه-خاص (Particular Point Topology) :
توپولوژی نقطه-خاص (Particular point topology) روی یک مجموعه
\[ X \]با انتخاب یک نقطه خاص
\[ p \in X \]تعریف می شود. در این توپولوژی، یک مجموعه
\[ U \subseteq X \]باز است اگر یا
\[ U = \emptyset \]باشد، یا
\[ p \in U \](یعنی شامل نقطه خاص باشد). این توپولوژی یکی از ساده ترین توپولوژی های غیربدیهی است.
ویژگی ها: این فضا یک فضای
\[ T_0 \]است (چون اگر
\[ x \neq p \]، آن گاه
\[ \{p,x\} \]باز است و
\[ p \]را دارد ولی
\[ x \]را ندارد؟ در واقع برای تشخیص
\[ p \]از
\[ x \]، مجموعه
\[ \{p,x\} \]باز است و شامل
\[ p \]است ولی
\[ x \]را هم دارد! برای جداسازی
\[ T_0 \]نیاز داریم مجموعه ای باشد که دقیقا یکی از دو نقطه را داشته باشد. مجموعه
\[ \{p\} \]باز نیست (چون شامل
\[ p \]است، پس باید باز باشد؟ چرا
\[ \{p\} \]باز نیست؟ چون
\[ \{p\} \]شامل
\[ p \]است، پس طبق تعریف باید باز باشد. بله،
\[ \{p\} \]باز است. پس
\[ p \]یک مجموعه باز تک عضوی دارد. برای
\[ x \neq p \]، مجموعه
\[ \{p,x\} \]باز است و شامل
\[ x \]است اما
\[ p \]را هم دارد. مجموعه ای که فقط
\[ x \]را داشته باشد و
\[ p \]را نداشته باشد وجود ندارد (چون باید شامل
\[ p \]باشد تا باز باشد). بنابراین
\[ x \]در هیچ مجموعه باز تک عضوی نیست. پس فضا
\[ T_0 \]است (چون
\[ p \]را می توان از
\[ x \]با
\[ \{p\} \]تشخیص داد). اما
\[ T_1 \]نیست، زیرا
\[ x \]بسته نیست.
این فضا فشرده است (چون هر پوشش باز شامل یک مجموعه باز است که
\[ p \]را دارد و بقیه مجموعه ها را می توان کنار گذاشت). همچنین این فضا همبند است (چون تنها مجموعه باز-بسته ممکن
\[ \emptyset \]و
\[ X \]هستند).
\[ \mathcal{T} = \{ U \subseteq X \mid p \in U \} \cup \{ \emptyset \} \]این فضا دوگان توپولوژی نقطه-مستثنی (excluded point topology) است.
