خط دراز (Long Line)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
خط دراز (Long Line) :
خط دراز (Long line) یک فضای توپولوژیک است که با چسباندن تعداد ناشمارایی از کپی های بازه
\[ [0,1) \]پشت سر هم ساخته می شود. این فضا شبیه به خط حقیقی است اما بسیار طولانی تر (از نظر ترتیبی) است. خط دراز یک مثال مهم در توپولوژی است که خواص فشردگی موضعی و شمارایی دوم (second-countability) را نقض می کند.
ساختار: اولین ترتیب شمار ناشمارا
\[ \omega_1 \]را در نظر بگیرید. برای هر
\[ \alpha < \omega_1 \]یک کپی از
\[ [0,1) \]به نام
\[ I_\alpha \]در نظر بگیرید. سپس همه این کپی ها را پشت سر هم بچسبانید: ابتدا
\[ I_0 \]، سپس
\[ I_1 \]، ... و برای هر
\[ \alpha \]،
\[ I_\alpha \]را بعد از همه
\[ I_\beta \]ها (
\[ \beta < \alpha \]) قرار دهید. این کار یک مجموعه خطی ترتیب یافته به طول
\[ \omega_1 \]می دهد. سپس با توپولوژی ترتیبی، خط دراز به دست می آید. گاهی یک نقطه پایانی مثبت به نام
\[ +\infty \]نیز اضافه می شود تا فشرده سازی یک نقطه ای انجام شود.
خط دراز یک فضای
\[ T_1 \]، هاسدورف و موضعا فشرده است، اما فشرده نیست. همچنین شمارا-اول (first-countable) است اما شمارا-دوم (second-countable) نیست. این فضا همبند است و خواص جالبی مانند اینکه هر تابع پیوسته حقیقی مقدار روی خط دراز نهایتا ثابت است (یعنی در خارج از یک بازه متناهی، مقدار تابع ثابت می شود).
\[ L = \bigcup_{\alpha < \omega_1} [0,1)_\alpha \quad \text{با ترتیب لکسیکوگرافیک} \]خط دراز در مطالعه فضاهای غیرمتریک پذیر و فضاهای شمارا-اول ولی غیرلیندلوف کاربرد دارد.
