کی-توپولوژی (K-topology)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :

کی-توپولوژی (K-topology) :

کی-توپولوژی (K-topology) روی خط اعداد حقیقی

\[ \mathbb{R} \]

یک توپولوژی مشهور است که توسط Munkres در کتاب توپولوژی معرفی شده است. این فضا برای نشان دادن تفاوت بین فضاهای هاسدورف و فضاهای نرمال به کار می رود.

تعریف: ابتدا مجموعه

\[ K = \{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \} \]

را در نظر بگیرید. پایه توپولوژی کی شامل همه بازه های باز معمولی

\[ (a,b) \]

به اضافه مجموعه های

\[ (a,b) \setminus K \]

است. یعنی بازه هایی که نقاط

\[ K \]

از آنها حذف شده است.

این فضا یک فضای هاسدورف است (چون از توپولوژی معمولی قوی تر است) و

\[ T_1 \]

است، اما نرمال نیست. دلیل نرمال نبودن: دو مجموعه

\[ K \]

و

\[ \{0\} \]

را در نظر بگیرید. هر دو بسته هستند (چرا؟

\[ K \]

بسته است زیرا متمم آن شامل

\[ 0 \]

و ...). اما نمی توان آنها را با مجموعه های باز جدا کرد.

\[ \mathcal{B} = \{ (a,b) \mid a \]

کی-توپولوژی یک مثال استاندارد از فضایی است که

\[ T_3 \]

(منظم) است اما

\[ T_4 \]

(نرمال) نیست. در واقع این فضا کاملا منظم (Tychonoff) هم هست.