توپولوژی جاروی اعداد صحیح (Integer Broom Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی جاروی اعداد صحیح (Integer Broom Topology) :
توپولوژی جاروی اعداد صحیح (Integer broom topology) یک فضای توپولوژیک روی مجموعه اعداد صحیح
\[ \mathbb{Z} \]یا روی یک مجموعه گسسته با ساختاری شبیه جارو است. این فضا یک مثال از فضای
\[ T_0 \]است که
\[ T_1 \]نیست و خواص جالبی در زمینه همگرایی دارد.
تعریف: پایه این توپولوژی شامل مجموعه های
\[ \{n\} \]برای هر
\[ n \in \mathbb{Z} \](مجموعه های تک عضوی) به اضافه مجموعه هایی به شکل
\[ \{n, n+1, n+2, \dots\} \]برای هر
\[ n \](دم های رو به راست). یعنی هر نقطه یک مجموعه باز تک عضوی دارد (پس نقاط مجزا هستند؟) اما مجموعه های دم نیز باز هستند. این باعث می شود دنباله ها به نقاط مثبت بی نهایت همگرا شوند.
این فضا یک فضای گسسته نیست، زیرا مجموعه های دم نیز بازند. در واقع توپولوژی جاروی اعداد صحیح ترکیبی از توپولوژی گسسته و توپولوژی هم نهایت-متناهی است. این فضا فشرده نیست (چون پوشش از
\[ \{n\} \]ها زیرپوشش متناهی ندارد).
\[ \mathcal{B} = \{ \{n\} \mid n \in \mathbb{Z} \} \cup \{ \{n, n+1, n+2, \dots\} \mid n \in \mathbb{Z} \} \]این فضا برای مطالعه همگرایی دنباله ها و فیلترها مفید است. دنباله
\[ (n)_{n=1}^{\infty} \]به هر نقطه
\[ m \]همگرا نیست، اما به طور شهودی به سمت بی نهایت میل می کند.
