مکعب هیلبرت (Hilbert Cube)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مکعب هیلبرت (Hilbert Cube) :
مکعب هیلبرت (Hilbert cube) یک فضای توپولوژیک معروف است که به عنوان حاصلضرب شمارا از بازه های بسته
\[ [0,1] \]تعریف می شود:
\[ [0,1]^\omega = [0,1] \times [0,1] \times [0,1] \times \dots \]با توپولوژی ضربی. این فضا یک فضای متریک پذیر، فشرده و همبند است.
نام آن به افتخار دیوید هیلبرت (David Hilbert) گذاشته شده است. مکعب هیلبرت را می توان به عنوان فضای همه دنباله های
\[ (x_n)_{n=1}^{\infty} \]با
\[ 0 \le x_n \le 1 \]در نظر گرفت. متر روی آن را می توان به صورت
\[ d(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n - y_n|}{2^n} \]تعریف کرد.
این فضا یک فضای فشرده و همبند و موضعا همبند است. همچنین یک فضای پولیش (Polish) است (یعنی کامل و جداشدنی با متر). مکعب هیلبرت در آنالیز تابعی و توپولوژی جبری کاربرد فراوان دارد.
\[ Q = \prod_{n=1}^{\infty} [0,1] = \{ (x_1, x_2, x_3, \dots) \mid 0 \le x_n \le 1 \} \]مکعب هیلبرت یک فضای جهانی برای فضاهای متریک پذیر و فشرده است: هر فضای متریک پذیر و فشرده را می توان در مکعب هیلبرت نشاند.
