توپولوژی نیم-دیسک (Half-disk Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی نیم-دیسک (Half-disk Topology) :
توپولوژی نیم-دیسک (Half-disk topology) یک توپولوژی روی صفحه
\[ \mathbb{R}^2 \]است که ترکیبی از توپولوژی اقلیدسی روی نیم صفحه بالایی و توپولوژی خاصی روی محور
\[ x \]ها است. این فضا مثالی از فضایی است که هاسدورف است اما نه کاملا منظم (Tychonoff).
تعریف: صفحه را به دو بخش تقسیم می کنیم: نیم صفحه بالایی
\[ H = \{(x,y) \mid y > 0\} \]با توپولوژی اقلیدسی معمولی. روی محور
\[ x \]ها (یعنی نقاط
\[ (x,0) \]) یک توپولوژی خاص تعریف می کنیم: پایه شامل مجموعه های
\[ \{(x,0)\} \cup B \]است که
\[ B \]یک دیسک باز در
\[ H \]است که مماس بر محور
\[ x \]در نقطه
\[ (x,0) \]باشد (مثل دیسک هایی که در توپولوژی مور (Moore plane) استفاده می شود).
این فضا شبیه به صفحه مور است اما با این تفاوت که در نیم-دیسک، نقاط محور
\[ x \]به عنوان نقاطی با همسایگی های خاص دیده می شوند. این فضا یک فضای
\[ T_{2} \](هاسدورف) است اما کاملا منظم نیست (یعنی نمی توان یک تابع پیوسته که نقطه ای روی محور را از یک مجموعه بسته جدا کند).
\[ \text{پایه: } \mathcal{B} = \{ B_r(x,y) \mid y>0 \} \cup \{ \{(x,0)\} \cup D_r(x) \mid x \in \mathbb{R}, r>0 \} \]که در آن
\[ D_r(x) \]یک دیسک باز در
\[ H \]به شعاع
\[ r \]مماس بر
\[ (x,0) \]است.
