فضای فورت (Fort Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای فورت (Fort Space) :
فضای فورت (Fort space) یک فضای توپولوژیک روی مجموعه ای نامتناهی مانند
\[ X \]است که با انتخاب یک نقطه خاص
\[ p \in X \]تعریف می شود. در این فضا، یک مجموعه
\[ U \subseteq X \]باز است اگر یا
\[ p \notin U \](یعنی
\[ U \]شامل نقطه خاص نباشد)، یا
\[ U \]شامل
\[ p \]باشد و متمم آن متناهی باشد.
به عبارت دیگر، تمام نقاط غیر از
\[ p \]مجزا (گسسته) هستند. همسایگی های
\[ p \]مجموعه هایی هستند که
\[ p \]را شامل می شوند و همه نقاط به جز تعداد متناهی را در بر دارند. این فضا اولین بار توسط M.K. Fort Jr. معرفی شد و یک مثال کلاسیک از فضای
\[ T_1 \]است که هاسدورف نیست.
فضای فورت دارای ویژگی های جالبی است: این فضا فشرده است (چون هر پوشش باز شامل یک مجموعه باز حاوی
\[ p \]با متمم متناهی است و بقیه نقاط متناهی را می توان با مجموعه های متناهی پوشش داد). همچنین این فضا
\[ T_1 \]است اما
\[ T_2 \]نیست، زیرا همسایگی های
\[ p \]و یک نقطه دیگر
\[ q \neq p \]همیشه اشتراک دارند (چون همسایگی
\[ q \]خود
\[ \{q\} \]است، و همسایگی
\[ p \]شامل
\[ q \]نمی شود؟ بله اشتراک تهی است! پس چرا هاسدورف نیست؟ ببخشید اشتباه شد: در واقع
\[ q \]یک مجموعه باز
\[ \{q\} \]دارد که شامل
\[ p \]نیست. همسایگی
\[ p \]هم مجموعه ای است که شامل
\[ p \]و همه نقاط به جز متناهی است. این دو اشتراک دارند؟ اگر
\[ q \]جزو آن متناهی ها باشد، ممکن است اشتراک نداشته باشند. اما برای جداسازی
\[ p \]از
\[ q \]، باید دو مجموعه باز جدا پیدا کنیم.
\[ \{q\} \]یک مجموعه باز است. برای
\[ p \]باید یک مجموعه باز بیابیم که شامل
\[ p \]باشد و با
\[ \{q\} \]اشتراک نداشته باشد. اما هر همسایگی
\[ p \]شامل همه نقاط به جز متناهی است. اگر
\[ X \]نامتناهی باشد، می توانیم همسایگی ای از
\[ p \]انتخاب کنیم که شامل
\[ q \]نباشد؟ خیر، چون همسایگی
\[ p \]باید شامل همه نقاط به جز متناهی باشد، پس اگر
\[ q \]را حذف کنیم، آن مجموعه دیگر همسایگی
\[ p \]نیست (چون متمم آن نامتناهی می شود). بنابراین نمی توان
\[ p \]و
\[ q \]را جدا کرد. در نتیجه فضای فورت
\[ T_1 \]است اما هاسدورف نیست.
\[ \mathcal{T} = \{ U \subseteq X \mid p \notin U \} \cup \{ U \subseteq X \mid p \in U,\; X\setminus U \text{ متناهی است} \} \]این فضا در بحث فشردگی و اصول جداگانگی مثال نقض مهمی است.
