توپولوژی نقطه-مستثنی (Excluded Point Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی نقطه-مستثنی (Excluded Point Topology) :
توپولوژی نقطه-مستثنی (Excluded point topology) روی یک مجموعه
\[ X \]با انتخاب یک نقطه خاص
\[ p \in X \]تعریف می شود. در این توپولوژی، یک مجموعه
\[ U \subseteq X \]باز است اگر یا
\[ U = X \]باشد، یا
\[ p \notin U \]. یعنی تنها مجموعه ای که می تواند شامل نقطه
\[ p \]باشد، خود کل فضا است.
این توپولوژی یک مثال ساده از فضای
\[ T_0 \]است که
\[ T_1 \]نیست (چون نقطه
\[ p \]در هیچ مجموعه باز دیگری غیر از
\[ X \]ظاهر نمی شود). نقاط دیگر (غیر از
\[ p \]) مجزا (گسسته) هستند؟ خیر، هر نقطه غیر از
\[ p \]در مجموعه های باز تک عضوی
\[ \{x\} \]قرار دارد؟ بله، زیرا
\[ \{x\} \]شامل
\[ p \]نیست پس باز است. بنابراین نقاط غیر از
\[ p \]گسسته هستند و
\[ p \]یک نقطه «چسبنده» است.
این فضا فشرده است؟ اگر
\[ X \]متناهی باشد، بله. اگر نامتناهی باشد، خیر (زیرا پوشش از مجموعه های
\[ \{x\} \]برای
\[ x \neq p \]به همراه
\[ X \]، زیرپوشش متناهی ندارد).
\[ \mathcal{T} = \{ U \subseteq X \mid U = X \text{ یا } p \notin U \} \]این فضا دوگان توپولوژی نقطه-خاص (particular point topology) است. در توپولوژی نقطه-خاص، تنها مجموعه های باز شامل
\[ p \]هستند. در اینجا تنها مجموعه های باز شامل
\[ p \]نیستند (به جز
\[ X \]).
