توپولوژی یکی-یا-دیگری (Either-or Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی یکی-یا-دیگری (Either-or Topology) :
توپولوژی یکی-یا-دیگری (Either-or topology) یک توپولوژی روی مجموعه اعداد حقیقی
\[ \mathbb{R} \]است که در آن مجموعه های باز شامل مجموعه های زیر هستند:
\[ \emptyset \]،
\[ \mathbb{R} \]، و مجموعه هایی که شامل
\[ 0 \]هستند و متمم آنها شمارا است. یعنی
\[ U \]باز است اگر
\[ 0 \in U \]یا
\[ U = \emptyset \]یا
\[ U = \mathbb{R} \].
این توپولوژی یک مثال از فضای
\[ T_0 \]است که
\[ T_1 \]نیست. نقطه
\[ 0 \]در این فضا نقش ویژه ای دارد: تنها مجموعه های بازی که
\[ 0 \]را ندارند،
\[ \emptyset \]و
\[ \mathbb{R} \]هستند (چون اگر
\[ U \]باز باشد و
\[ 0 \notin U \]، آن گاه باید
\[ U = \emptyset \]). بنابراین هیچ نقطه ای غیر از
\[ 0 \]یک مجموعه باز تک عضوی ندارد.
این فضا همبند است (چون تنها مجموعه های باز-بسته (clopen)
\[ \emptyset \]و
\[ \mathbb{R} \]هستند). همچنین فشرده نیست، چون می توان پوششی از مجموعه های باز یافت که زیرپوشش متناهی نداشته باشد.
\[ \mathcal{T} = \{ U \subseteq \mathbb{R} \mid 0 \in U \text{ یا } U \in \{\emptyset, \mathbb{R}\} \} \]این فضا گاهی با نام «توپولوژی نقطه خاص» (particular point topology) روی
\[ \mathbb{R} \]با نقطه خاص
\[ 0 \]شناخته می شود.
