مربع آرنس (Arens Square)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مربع آرنس (Arens Square) :
مربع آرنس (Arens square) یک فضای توپولوژیک است که توسط ریچارد آرنس (Richard Arens) به عنوان مثال نقض برای برخی خواص مانند نرمال بودن و یکنواخت پذیری معرفی شد. این فضا روی مجموعه نقاط
\[ (0,0) \]و
\[ (1,0) \]و نقاطی از شکل
\[ (\frac{1}{m}, \frac{1}{n}) \]برای
\[ m,n \in \mathbb{N} \]تعریف می شود.
توپولوژی مربع آرنس به این صورت تعریف می شود: نقاط داخل شبکه (غیر از محورها) مجزا (گسسته) هستند. همسایگی نقاط روی محورها شامل مجموعه هایی است که شامل خود نقطه و «تقریبا همه» نقاط بالای آن در یک نوار باریک باشند.
این فضا یک مثال از فضای هاسدورف است که نرمال نیست. همچنین نشان می دهد که حاصلضرب دو فضای نرمال لزوما نرمال نیست (با وجود اینکه مربع آرنس خود حاصلضرب نیست، اما ساختار مشابهی دارد).
\[ X = \{(0,0), (1,0)\} \cup \{(\frac{1}{m}, \frac{1}{n}) : m,n \in \mathbb{N}\} \]مربع آرنس همچنین در بحث فضاهای کاملا منظم (Tychonoff) مورد استفاده قرار می گیرد. این فضا یک فضای
\[ T_{3} \](منظم) است اما
\[ T_{4} \](نرمال) نیست. دو مجموعه بسته در آن وجود دارد که با مجموعه های باز قابل جداسازی نیستند.
