توپولوژی اپرت (Appert Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی اپرت (Appert Topology) :
توپولوژی اپرت (Appert topology) یک توپولوژی خاص روی مجموعه اعداد طبیعی
\[ \mathbb{N} \]است که توسط آنتونی اپرت (Antoine Appert) در سال ۱۹۳۴ معرفی شد. این توپولوژی یک مثال جالب از فضایی است که خواص جداگانگی پیچیده ای دارد.
در این توپولوژی، یک مجموعه
\[ U \subseteq \mathbb{N} \]باز است اگر یا تهی باشد، یا دارای این خاصیت باشد که برای هر
\[ x \notin U \]، تعداد اعضای
\[ U \]که از
\[ x \]بزرگتر هستند متناهی باشد. به بیان دیگر، مجموعه های باز مجموعه هایی هستند که «تقریبا همه» اعداد طبیعی را شامل می شوند، به جز متناهی ها.
ویژگی جالب: این فضا یک فضای
\[ T_2 \](هاسدورف) نیست، ولی
\[ T_1 \]است. در واقع فضای اپرت یک مثال نقض برای برخی قضایا در زمینه فشردگی موضعی است.
\[ U \text{ باز است } \iff U = \emptyset \text{ یا } \forall x \notin U,\; |\{ y \in U : y > x \}| < \infty \]همچنین این فضا فشرده نیست، زیرا می توان پوششی از مجموعه های باز پیدا کرد که زیرپوشش متناهی نداشته باشد. با این حال، این فضا دارای خاصیت شمارایی-اول (first-countable) است.
توپولوژی اپرت گاهی در بحثهای مربوط به همگرایی و فیلترها استفاده می شود. نکته جالب دیگر اینکه این فضا همبند نیست، زیرا می توان آن را به دو مجموعه باز جدا افراز کرد.
