مجموعه کانتور (Cantor Set)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
مجموعه کانتور (Cantor Set) :
مجموعه کانتور کلاسیک یک زیرمجموعه فشرده، ناهمبند و کامل از بازه
\[ [0,1] \]است که با حذف بازه های میانی به دست می آید. این مجموعه یک فضای توپولوژیک با توپولوژی القایی از اقلیدس است. مجموعه کانتور شگفتی های بسیاری دارد: هم مورف با حاصلضرب شمارا از فضای گسسته
\[ \{0,1\} \]است (یعنی
\[ C \cong \{0,1\}^\omega \]).
از نظر توپولوژیک، مجموعه کانتور یک فضای متریک پذیر، فشرده، صفر-بعدی، کامل و کاملا ناهمبند است. همچنین این فضا هیچ نقطه ای ندارد که همسایگی همبند داشته باشد (فضای پوسته ای (Cantor dust)).
ویژگی مهم: هر فضای متریک پذیر، فشرده و صفر-بعدی (بدون نقطه ی منفرد) هم مورف با مجموعه کانتور است. بنابراین مجموعه کانتور یک فضای جهانی برای این دسته از فضاها است.
\[ C = \{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{3^n} \mid a_n \in \{0,2\} \} \]مجموعه کانتور در نظریه دینامیک، فراکتال ها و آنالیز کاربرد فراوان دارد. همچنین این فضا یک مثال نقض معروف است: اندازه آن صفر است اما هم اندازه با بازه
\[ [0,1] \]است.
