توپولوژی مقسوم علیه (Divisor Topology)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای توپولوژیک (Topological Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
توپولوژی مقسوم علیه (Divisor Topology) :
توپولوژی مقسوم علیه روی مجموعه اعداد طبیعی مثبت
\[ \mathbb{N}^+ \]تعریف می شود و پایه آن شامل مجموعه های به شکل
\[ D_n = \{ m \in \mathbb{N} \mid n \text{ مقسوم علیه } m \} \]است، یعنی همه مضارب یک عدد طبیعی. این توپولوژی با نظریه اعداد و شبکه مقسوم علیه ها ارتباط دارد.
در این توپولوژی، هر
\[ D_n \]باز است. همچنین اشتراک متناهی از این مجموعه ها باز است (چون اشتراک
\[ D_n \]و
\[ D_m \]برابر
\[ D_{\mathrm{lcm}(n,m)} \]است). بنابراین این مجموعه ها یک پایه برای توپولوژی تشکیل می دهند.
ویژگی های جالب: این فضا یک فضای
\[ T_0 \]است اما
\[ T_1 \]نیست. نقاط را نمی توان به طور کامل جدا کرد زیرا برای دو عدد
\[ a \]و
\[ b \]که
\[ a \]بر
\[ b \]بخش پذیر است، هر مجموعه باز شامل
\[ a \]، شامل
\[ b \]هم هست (اگر
\[ a \]مضرب
\[ b \]باشد). بنابراین فضا کولموگوروف است اما هاسدورف نیست.
پایه:
\[ \mathcal{B} = \{ D_n \mid n \in \mathbb{N} \}, \quad D_n = \{ m \in \mathbb{N} : n \mid m \} \]این فضا مثالی از توپولوژی حاصل از یک ایده آل (مقسوم علیه ها) در یک مشبکه است. همچنین با توپولوژی طیفی (spectral topology) روی مشبکه مقسوم علیه ها مرتبط است.
